เวกเตอร์

วันพุธที่ 18 กันยายน พ.ศ. 2556

การบวกจำนวนเต็ม

การบวกจำนวนเต็ม

การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวกและการบวกจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ มีหลักเกณฑ์ ดังนี้

1. การบวกจำนวนเต็มบวก การหาผลบวกของจำนวนเต็มบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนบวก

2. การบวกจำนวนเต็มลบ การหาผลบวกของจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบมาบวกกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็ม

3. การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ การหาผลบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์มาลบกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบ ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า เช่น

1. 2 + ( - 10) = - 8

2. (- 3 ) + 12 = 9
3. (- 9) + 6 + ( - 5 ) = (-3) + (- 5)

= - 8

4. 14 + (- 8) + (- 6) = 6 + (- 6)

= 0

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 9 +5

วิธีทำ 9 + 5 = 14

ตอบ 14

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก (-9) + (-5)

วิธีทำ (-9) + (-5) = -14

ตอบ -14

การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบและการบวกจำนวนเต็มลบด้วยเต็มบวก

การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่ากัน ให้นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า แล้วตอนเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

หลักเกณฑ์การบวกจำนวนเต็ม

2. การบวกจำนวนเต็มลบ การหาผลบวกของจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบมาบวกกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ

3. การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่ากันให้นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

4. การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากันผลบวกเท่ากับศูนย์

สำหรับการบวกจำนวนเต็มใดๆ ด้วยศูนย์ หรือการบวกด้วยศูนย์ด้วยจำนนเต็มใดๆ จะได้ผลบวกเท่ากับจำนวนเต็มนั้นเสมอ

นั่นคือ a + 0 = 0 + a = a เมื่อ a แทนจำนวนเต็มใดๆ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 32 + (-17)

วิธีทำ 32 + (-17) = 15

ตอบ 15

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก 17 + (32)

วิธีทำ 17 + (32) = -15

ตอบ -15

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวก 25 + (-25)

วิธีทำ 25 + (-25) = 0

ตอบ 0

ที่มา http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/lopburi/jariyaporn_s/math/sec01p03.html

https://sites.google.com/site/eerawanpaothong/canwnte/kar-bwk-lb-canwntem

วันที่ 18 กันยายน 2556

     ทศนิยมนั้นจะเข้ามามีบทบาทในชีวิตประจำวันของเราตลอด ไม่ว่าจะเป็นการบอกค่าของเงินที่เราใช้   การบอกเวลา   บอกหน่วยความยาว ฯลฯ

     -    การเขียนทศนิยมในรูปกระจายเป็นการเขียนในรูปการบวกค่าของตัวเลขในหลักต่าง ๆ ของทศนิยมนั้น
      - ทศนิยม หมายถึง การเขียนตัวเลขแสดงจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า 1 หรือการเขียนตัวเลขประเภทเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 10,100,1000 แต่เปลี่ยนรูปจากเศษส่วนมาเป็นรูปทศนิยม โดยใช้เครื่องหมาย . (จุด) แทน
      - ทศนิยมและเศษส่วน ทศนิยมหนึ่งตำแหน่งเทียบได้กับเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นสิบ และทศนิยมสองตำแหน่งเทียบได้กับเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นร้อย

  ทศนิยม      หมายถึง ค่าของจำนวนเต็มที่แบ่งออกเป็นสิบส่วน ร้อยส่วน พันส่วน .... เท่า ๆ กัน ซึ่งเขียนได้ในรูปของเศษส่วน
เช่น

เป็นต้น

ค่าของตัวเลขตามค่าประจำหลัก

ล้าน	แสน	หมื่น	พัน	ร้อย	สิบ	หน่วย	จุด	หลักส่วนสิบ	หลักส่วนพัน
1,000,000	100,000	10,000	1,000	100	10	1		หรือ 0.1	หรือ0.001

หลักตัวเลขหน้าจุด หลักตัวเลขหลังจุด

1. การบวกทศนิยม

การบวกทศนิยมใช้วิธีตั้งหลักและจุดทศนิยมให้ตรงกันแล้วบวกตัวเลขที่อยู่ในหลักเดียวกัน ถ้าผลบวกได้เกิน 9 ให้ทศไปยังหลักข้างหน้าเหมือนการบวกจำนวนนับ

ตัวอย่าง42.36 + 23.86 = ?
วิธีทำ
คุณสมบัติสลับที่ของการบวกเช่น5.3 + 4.6 = 4.6 + 5.3 = 9.9
คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวกเช่น
( 0.14+0.83)+0.13 = 0.14 + (0.83 + 0.13) = 1.10

2. การลบทศนิยม

การลบทศนิยมใช้วิธีตั้งหลักและจุดทศนิยมให้ตรงกันแล้วลบจำนวนที่อยู่ในหลักเดียวกันถ้าตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบให้กระจายหลักข้างหน้ามาเหมือนกับจำนวนนับ
ตัวอย่าง4.35 - 2.19 = ?
วิธีทำ

3. โจทย์ปัญหาการบวกและลบทศนิยม
ขั้นตอนการทำโจทย์ปัญหาการบวกและลบทศนิยม มีดังนี้
1.) ถ้ากำหนดจำนวนสิ่งของให้ และบอกจำนวนที่เพิ่มขึ้น ใช้วิธีบวก
2.) ถ้ากำหนดจำนวนสิ่งของให้ และบอกจำนวนที่ลดลง ใช้วิธีลบ

ตัวอย่าง จ่ายค่าหนังสือเป็นเงิน206.5 บาท จ่ายค่าสมุดเป็นเงิน 150 บาท ให้ธนบัตรใบละ 500 บาท จะได้รับเงินทอนกี่บาท
ประโยคสัญลักษณ์500 - (206.5 + 150 ) = ?
วิธีทำ
จ่ายค่าหนังสือเป็นเงิน206.50 บาท
จ่ายค่าสมุดเป็นเงิน150.00 บาท
จ่ายเงินค่าสมุดและดินสอเป็นเงิน356.50 บาท
ให้ธนบัตรใบละ500.00 บาท
จ่ายค่าหนังสือและสมุด356.50 บาท
จะได้รับเงินทอน143.50 บาท

4. การคูณทศนิยม
1. การหาผลคูณโดยใช้การบวก เช่น2 x 3.5 = 3.5 + 3.5 = 7.0
2. การหาผลคูณโดยการเปลี่ยนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนเช่น
3. การหาผลคูณโดยวิธีลัดให้คูณเหมือนการคูณจำนวนนับด้วยจำนวนนับ และผลคูณจะมีตำแหน่งทศนิยมเท่ากับทศนิยมที่โจทย์กำหนดให้ เช่น3x0.7 = 2.1 หรือ4 x2.17 = 8.68 เป็นต้น
คุณสมบัติการสลับที่ของการคูณเช่น5x0.8 = 0.8x5 =4.0

5. โจทย์การปัญหาการคูณทศนิยมมีหลักดังนี้
ขั้นตอนการทำโจทย์การปัญหาการคูณทศนิยม
1.) อ่านโจทย์ให้เข้าใจว่าโจทย์กำหนดสิ่งใดให้ และต้องการทราบอะไร
2.) พิจารณาวิธีหาคำตอบโดยถ้าโจทย์กำหนดจำนวนสิ่งของให้และบอกว่าเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่าจะใช้วิธีการคูณ

ตัวอย่างซื้อผ้าเช็ดหน้า 1/2 โหล ราคาผืนละ 5.25 บาท ให้ธนบัตรใบละ100 บาท จะได้รับเงินทอนกี่บาท
ประโยคสัญลักษณ์100 - (5.25x6) = ?
วิธีทำซื้อผ้าเช็ดหน้าราคาผืนละ5.25 บาท
ผ้าเช็ดหน้า 1/2 โหลเท่ากับ6 ผืน
จ่ายเงินค่าผ้าเช็ดหน้า6x5.25 = 31.50 บาท
ให้ธนบัตร100 บาท
จะได้รับเงินทอน100 - 31.50 = 63.50 บาท

ทดสอบความเข้าใจ
ข้อ 1. จงหาค่าของ(7.58 - 3.61) + 2.95 = ?
ก.5.92 ข.6.82 ค.6.92 ง.14.14

ข้อ 2. แดงมีเงิน 24.50 บาท ซื้อหนังสือ 1 เล่มราคา15 บาทแดงมีเงินเหลือกี่บาท
ก.9 ข.9.50 ค.10 ง.10.50

ข้อ 3. เชือกยาวเส้นละ2.35 เมตรถ้านำมาวางต่อกัน10 เส้น จะได้เชือกยาวกี่เมตร
ก.12.35 ข.23.5 ค.235 ง.2,350

เฉลยข้อ 1. ตอบ คข้อ 2. ตอบขข้อ 3. ตอบ ข

ที่มา http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/phayao/natchaporn_w/ma_t_m1/sec01p01.html

http://blog.eduzones.com/jipatar/85901

วันที่ 18 กันยายน 2556

การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม

การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

ความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม
ความยาวรอบรูป คือ ผลบวกของความยาวด้านทุกด้านของรูปเหลี่ยม

วิธีหาความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม
รูปสี่เหลี่ยมโดยทั่วไปหาความยาวเส้นรอบรูปได้โดยวัดความยาวของด้าน
ทุกด้านแล้วนำมาบวกกัน
รูปสี่เหลี่ยมบางชนิดหาความยาวโดยใช้สูตรความยาวรอบรูปได้โดยวัดความ

ยาวบางด้านแล้วนำมาคำนวนโดยใช้สูตรดังนี้
สี่เหลี่ยมผืนผ้า, สี่เหลี่ยมด้านขนาน = 2 × ( กว้าง + ยาว )
สี่เหลี่ยมจัตุรัส, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = 4 × ด้าน

สูตรหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมจัตุรัส
สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน

ตัวอย่าง หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD ซึ่งยาว 3 เซนติเมตร
     = ด้าน x ด้าน
     = 3 x 3
    = 9 ตารางเซนติเมตร

สี่เหลี่ยมผืนผ้า
สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว

   ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยม PQRS ซึ่งยาว 5 เซนติเมตร กว้าง 3 เซนติเมตร
     = กว้าง x ยาว
     = 3 x 5
     = 15 ตารางเซนติเมตร

สี่เหลี่ยมด้านขนาน
สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน x สูง หรือ
= 1/2 x ความยาวเส้นทแยงมุม x ผลบวกเส้นกิ่ง

ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งยาว 6 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร
     = ฐาน x สูง
     = 6 x 4
     = 24 ตารางเซนติเมตร
    หรือ หาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานมีเส้นทแยงมุมยาว 12 เซนติเมตรและความยาวเส้น
     กิ่งยาว 2 เซนติเมตรและ 2 เซนติเมตร
     = 1/2x ความยาวเส้นทแยงมุม x ผลบวกเส้นกิ่ง
     = 1/2x 12 x ( 2+2 )
     = 24 ตารางเซนติเมตร

     สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
   สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ฐาน x สูง หรือ
     = 1/2x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งยาวด้านละ 5 เซนติเมตร สูง 3 เซนติเมตร
     = ฐาน x สูง
     = 5 x 3
     = 15 ตารางเซนติเมตร
    หรือ หาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีเส้นทแยงมุมยาว 5 เซนติเมตรและ 6 เซนติเมตร
     = 1/2x ผลคูณของเส้นทแยงมุม
     =1/2 x 5 x 6
     = 15 ตารางเซนติเมตร

สี่เหลี่ยมรูปว่าว
สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว =1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

    ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว ซึ่งมีเส้นทแยงมุมยาว 4 และ 6 เซนติเมตร
     = 1/2x ผลคูณของเส้นทแยงมุม
     =1/2 x 4 x 6
     = 12 ตารางเซนติเมตร

   สี่เหลี่ยมคางหมู
     สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
     = 1/2x สูง x ผลบวกของความยาวของด้านคู่ขนาน

ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูมีด้านคู่ขนานยาว 4 และ 5 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร
     =1/2 x สูง x ผลบวกของความยาวของด้านคู่ขนาน
     = 1/2x 4 x (4 + 5)
     = 18 ตารางเซนติเมตร

สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า
สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า
= 1/2x ความยาวของเส้นทแยงมุม x ผลบวกความยาวเส้นกิ่ง

ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าซึ่งมีเส้นทแยงมุมยาว 12 เซนติเมตร เส้นกิ่ง
      ยาว 3 เซนติเมตรและ 4 เซนติเมตร
      = 1/2x ความยาวของเส้นทแยงมุม x ผลบวกความยาวเส้นกิ่ง
      = 1/2x 12 x ( 3+4 )
      = 42 ตารางเซนติเมตร

ที่มา http://sakon-phangkaew.blogspot.com/2012/01/blog-post.html

วีนที่ 18 กันยายน 2556

รูปวงกลม

วงกลม คือ รูปร่างทางเรขาคณิตรูปแบบหนึ่ง เป็นรูปปิด ไม่มีมุม สามารถวาดได้โดยกำหนดจุดศูนย์กลางขึ้นมา 1 จุด จากนั้นจึงลากเส้นให้มีระยะห่างจากจุดนี้เท่ากันโดยตลอด วนรอบจุดศูนย์กลางจนกลับมาถึงจุดเริ่มต้น โดยระยะห่างจากจุดศูนย์กลางนี้มีชื่อเรียกว่า รัศมี

วงกลม

สูตรการหาความยาวเส้นรอบวงกลมคือ เส้นรอบวง = $2pi imes r$

สูตรการหาพื้นที่วงกลมคือ พื้นที่วงกลม = $pi imes r^2$

ค่าของ pi คือ 3.1415... ซึ่งเป็นผลมาจาก เส้นรอบวง หารด้วยเส้นผ่าศูนย์กลาง (ดูเพิ่มเติมได้ที่ พาย)

ผลการวิเคราะห์

พื้นที่จัตุรัสที่แรเงา

ใน ระบบโคออร์ดิเนต x-y วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (a, b) และรัศมี r คือเซ็ตของทุกจุด (x, y) ที่

$left( x - a ight)^2 + left( y - b ight)^2=r^2$

หากวงกลมมีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด (0, 0) แล้ว สูตรนี้สามารถย่อได้ ดังนี้

x 2 + y 2 = r 2

วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด ที่มีรัศมี 1 หน่วย เรียกว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle)

เมื่อแสดงในรูปสมการอิงตัวแปรเสริม (x, y) สามารถเขียนได้โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์ และโคไซน์ ดังนี้

x = a + r cos(t)

y = b + r sin(t),

การหาความยาวรอบรูปวงกลม

ความยาวรอบรูปวงกลม

    การหาความยาวรอบรูป ( เส้นรอบวง ) ของวงกลม

                    จากค่า p   ≈   22/7   ≈   3.14

                              p  = เส้นรอบรูปวงกลม/เส้นผ่านศูนย์กลาง

      เส้นรอบรูปวงกลม       =   p × เส้นผ่านศูนย์กลาง

                                   =   p  × 2 × รัศมี
                     เมื่อรัศมีคือ r

       เพราะฉะนั้น  เส้นรอบรูปของวงกลม =   2pr

ตัวอย่าง  วงกลมวงหนึ่ง มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร จะมีความยาวของเส้นรอบวงเท่าไร

               รัศมีคือ r =  7

                              เส้นรอบรูปของวงกลม = 2pr                              เส้นรอบรูปของวงกลม = 2 x 22/7 x 7
                              เส้นรอบรูปของวงกลม = 44 เซนติเมตร

  ตอบ     ๔๔   เซนติเมตร

ที่มา https://sites.google.com/site/suwatchaisites/reuxng-tawprakxb/kar-hakhwam-yaw-rx
http://blog.eduzones.com/dena/3815

วันที่ 18 กันยายน 2556

การบวกและการลบเศษส่วน

การบวกและการลบเศษส่วน ไม่เหมือนการบวกลบในตัวเลขจำนวนเต็ม สำหรับเลขจำนวนเต็ม สามารถบวกลบกันได้เลย แต่การบวกและการลบแบบเศษส่วน จะต้องทำให้ส่วนเท่ากันเสียก่อน จึงจะสามารถบวกลบกันได้ มาดูวิธีการบวกลบเศษส่วนที่ถูกต้องกันเลยครับ
การบวกลบเศษส่วน ของจำนวน 2 จำนวนที่มีส่วนเท่ากัน ให้นำเศษมาบวกกัน ตัวเลขที่เป็นส่วน คงไว้เท่าเดิม (เศษ หมายถึงตัวเลขข้างบน ส่วน หมายถึงตัวเลขข้างล่าง ) ดังนั้น เอาเฉพาะตัวเลขข้างบนบวกลบกัน ตัวเลขข้างล่าง คงไว้เท่าเดิม เช่น

การบวกลบเศษส่วน

การบวกลบเศษส่วน ที่มีส่วนไม่เท่ากัน หรือ ตัวเลขที่อยู่ข้างล่างไม่เท่ากัน ต้องทำให้ส่วนเท่ากันเสียก่อน จึงจะสามารถบวกลบกันได้ วิธีทำให้ส่วนเท่ากัน เพื่อที่จะทำให้สามารถบวกลบกันได้ ทำอย่างไร ไปดูกันเลย

การบวกลบเศษส่วน

ลองเอาตัวอย่างการบวกลบเศษส่วน ต่อไปนี้ไปลองทำดู นะครับ ว่าน้องๆ จะเข้าใจ และทำได้ไหม

การบวกลบเศษส่วน

เฉลยคำตอบ ตัวอย่างข้อสอบการบวกลบเศษส่วน
ข้อ 1 .

การบวกลบเศษส่วน

ข้อ 2.

การบวกลบเศษส่วน

ข้อ 3.

การบวกลบเศษส่วน

หวังว่าน้องๆ คงจะเข้าใจ และได้ประโยชน์ การวิธีการที่พี่ได้สอนไปนะคะ ยังไง ก็อย่าลืมเอาไปฝึกฝนดู ถ้าจะให้ดีที่สุด จะต้องตั้งใจเรียน ตั้งใจฟังเวลาที่ครูสอน แล้วกลับมาทบทวนคะ

ที่มา http://blog.janthai.com/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9A%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99-2990.html

วันที่ 18 กัยยายน 2556

วันอาทิตย์ที่ 8 กันยายน พ.ศ. 2556

เวกเตอร์

(Vectors)

ปริมาณในทางฟิสิกส์ มี 2 ปริมาณ คือ

1. ปริมาณสเกลาร์ (Scalar) เป็นปริมาณที่บอกขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น มวล , อัตราเร็ว , พลังงาน ฯลฯ

2. ปริมาณเวกเตอร์ (Vector) เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว , ความเร่ง , การกระจัด , แรง ฯลฯ

1. การรวมเวกเตอร์

การรวมเวกเตอร์ หมายถึง การบวกหรือลบกันของเวกเตอร์ตั้งแต่ 2 เวกเตอร์ ขึ้นไป ผลลัพธ์ที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์ลัพธ์ (Resultant Vector) ซึ่งพิจารณาได้ ดังนี้

1.1 การบวกเวกเตอร์โดยวิธีการเขียนรูป ทำได้โดยเขียนเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นเอาหางของเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกหรือผลต่าง มาต่อกับหัวของเวกเตอร์ตัวตั้ง โดยเขียนให้ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์หาได้โดยการวัดระยะทาง จากหางเวกเตอร์แรกไปยังหัวเวกเตอร์สุดท้าย

จากรูป เวกเตอร ์

1.2 การบวกเวกเตอร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์

ให้ เวกเตอร์ ทำมุมกับ เป็นมุม q คำนวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้ ดังนี้

ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์คำนวณได้จากกฎของโคไซน์

ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก

a = ...........................................................(2)

หรือหาได้จากกฎของไซน์ ดังนี้

= = .......................................................(3)

ข้อสังเกต จากสมการที่ (1) พบว่า

เมื่อ q = (คือ และ อยู่ในทิศทางเดียวกัน) จะได้ขนาดของ = โดยทิศทางของ มีทิศเดียวกับ และ
เมื่อ q = 2.1 ถ้า > จะได้ = - และ มีทิศเดียวกับ
2.2 ถ้า < จะได้ = - และ มีทิศเดียวกับ

3. เมื่อ q =

จะได้

ขนาด R = และ a =

1.3 การลบเวกเตอร์

การลบเวกเตอร์ สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้เช่นเดียวกับการบวกเวกเตอร์ แต่ให้กลับทิศทางของเวกเตอร์ตัวลบ ดังนี้
.............................(4)

2. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย หมายถึง เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วยในทิศทางใดๆ เช่น เวกเตอร์ สามารถเขียนได้ด้วยขนาดของ คูณกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ซึ่งมีทิศทางเดียวกับ คือ

=
หรือ = .....................................................(5)
โดย คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีขนาดหนึ่งหน่วยและทิศเดียวกันกับ
ในระบบแกนมุมฉาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยบนแกน x , y และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ , และ ตามลำดับ จะได้
= ; = ; = ..............................(6)

เมื่อ

คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ

มีทิศทางตามแนวแกน x

คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน y
คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน z

3. เวกเตอร์องค์ประกอบ (Component Vector)

3.1 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 2 มิติ

ถ้า อยู่ในระนาบ x , y โดย ทำมุม q กับแกน x
องค์ประกอบของ ตามแกน x คือ โดย = Acosq
องค์ประกอบของ ตามแกน y คือ โดย = Asinq

ดังนั้น เวกเตอร์ เขียนแยกเป็นองค์ประกอบได้ ดังนี้
=+ ............................(7)

หรือ

= Acosq + Asinq

โดยที่ ขนาดของ

= .................................(8)

3.2 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 3 มิติ

กำหนดให้ อยู่บนระนาบ x , y ,z โดยเวกเตอร์ ทำมุมกับแกน x , y , z เป็นมุม q _x , q _y , q _z

ตามลำดับ เวกเตอร์

สามารถแยกเป็นองค์ประกอบตามแกน x , y , z ได้ ดังนี้

ขนาดของ แทนด้วย A_x = Acosq _x โดยที่ cosq _x =
ขนาดของ แทนด้วย A_y = Acosq _y โดยที่ cosq _y =
ขนาดของ แทนด้วย A_z = Acosq _z โดยที่ cosq _z =
ดังนั้น =
=